Курицы, яйца, причинный тест Грейнджера или кто был первым?

Что было раньше, яйцо или курица?

Несмотря на продолжающиеся и по сей день дебаты, ответ на этот вопрос был дан математиками Вальтером Турманом и Марком Фишером в 1988 году. В своей работе "Chickens, Eggs, and Causality, or Which Came First?" используя аппарат математической статистики, они доказали, что яйца были раньше. Однако с тех пор прошло больше 20 лет, курицы и яйца могли измениться...

На самом деле, эта статья конечно же не о курицах и яйцах, а о причинно-следственном тесте Грейнджера. В статистике и эконометрике этот тест используется для проверки причинно-следственных гипотез. Особенно часто этот тест применяется с временными данными, такими как котировки акций на бирже. В прошлом году я писал о том как предсказываются котировки на бирже с помощью твиттера, в своей работе авторы использовали именно вероятностный тест Грейнджера, для обоснования и подтверждения своей гипотезы. Именно поэтому, я решил вернуться и разобрать эту тему в деталях.



Итак, идея теста Грейнджера проста, предположим, что у нас есть две изменяющиеся во времени величины X и Y. Мы говорим, что величина X является Грейнджер-причиной для Y если значения X в прошлом помогают предсказать будущие значения Y. Это проверяется через линейную регрессию значений Y на прошлых значениях X и Y.
Иными словами, мы представляем значения Y в виде:

Y_i = μ_i + ∑α_kY_i-k + ∑β_kX_i-k + ε_i

где, Y_i - значение переменной Y в момент времени i
X_i - значение переменной X в момент времени i
k - временная задержка. Она определяет, влияние какой давности мы хотим проверить.

Если в полученной регрессии, коэффициентами β_k можно пренебречь, то считается, что прошлые значения X не помогают предсказывать Y и, стало быть, X не является причиной по-Грейнджеру для Y. И наоборот, если в данном выражении коэффициенты β_k статистически значимы и ими пренебречь нельзя, то мы считаем что X является причиной по-Грейнджеру для Y.

Здесь я не буду вдаваться в математику, она детально описана в любой книге по статистике или эконометрике. Сразу перейду к практическому применению: на практике регрессия проводится методом наименьших квадратов, после чего, для коэффициентов β_k оценивается F-статистика. Если соответствующее P-значение меньше выбранного уровня значимости, то коэффициентами β_k пренебречь нельзя и мы считаем, что Y зависит от X.

Аналогичный тест можно проделать в обратную сторону, чтобы проверить, не существует ли причинно-следственная связь между прошлыми значениями Y и будущими значениями X.

А теперь, вернемся, собственно к яйцам и курицам. В своей работе Турман и Фишер использовали данные о производстве яиц и количестве куриц-несушек в США с 1930 по 1986 годы. Логично, что если резко растет количество яиц то вскоре должно вырасти количество несушек, если резко растет количество куриц, то скоро должно вырасти и количество производимых ими яиц и, соответственно, наоборот если количество тех или других сокращается. На основании этих данных, проведя вероятностный тест Грейнджера, Турман и Фишер и сделали выводы о том, что яйца предшествуют курицам.

В моем распоряжении оказались данные с 1930 по 2006 год и я решил проверить, что же изменилось с тех пор. Для этого было проведено два теста, один на основе данных до 80-года, а второй на основе данных с 1980 до 2006 года.

Результаты для первого периода времени (1930-1980):
Сначала проверим, были ли первыми курицы? Для этого строится линейная регрессия выражения:
Яйца_i = μ_i + Σα_lЯйца_i-l + Σβ_lКурицы_i-l + ε_i

Лаг l	F-statistics	P-value	R2
1	0.10066	0.75244	0.96374
2	1.80463	0.17650	0.97185
3	1.11190	0.35531	0.97167
4	0.83738	0.51006	0.96915

Из результатов видно, что P-значения достаточно велики, стало быть гипотезу о том, что количество куриц в прошлом может быть использовано для предсказания количества яиц в будущем следует отвергнуть.
Проверим теперь обратную версию. Были ли первыми яйца? Снова строим регрессию но уже другого выражения:
Курицы_i = μ_i + Σα_lКурицы_i-l + Σβ_lЯйца_i-l + ε_i

Лаг	F-statistics	P-value	R2
1	0.84340	0.36311	0.71301
2	9.64019	0.00033	0.79859
3	5.50405	0.00285	0.80759
4	4.64016	0.00378	0.81962

Здесь ситуация обратная, P-значения малы, стало быть мы принимаем гипотезу о том, что яйца являются причиной по-Грейнджеру для куриц.

Эти результаты очень хорошо согласуются с работой Турмана и Фишера и если сформулировать вывод кратко, то получается, что яйца были раньше курицы. Теперь посмотрим, что изменилось с тех пор.

Результаты аналогичного теста с 1980 по 2006 годы.

Были ли первыми курицы?

Лаг	F-statistics	P-value	R2
1	0.13160	0.72008	0.97621
2	12.11797	0.00035	0.99118
3	10.98387	0.00030	0.99430
4	5.62075	0.00651	0.99473

Были ли первыми яйца?

Лаг	F-statistics	P-value	R2
1	4.55260	0.04375	0.94914
2	2.29759	0.12641	0.95418
3	1.85629	0.17534	0.96130
4	0.57575	0.68488	0.95997

Мы видим, что результаты зеркально противоположны! То есть мы можем утверждать, что курицы нынче появляются раньше яиц. Как и Турман, я не берусь интерпретировать результат и особенно произошедшее изменения, этим пусть занимаются ученые биологи. Но на вопрос кто появился раньше, курица или яйцо, теперь буду давать однозначный ответ: "с 1980 года раньше по-Грейнджеру являются курицы" :)

В этой заметке я нарочно умолчал о том, как провести этот тест и что значат цифры в таблицах. В следующий раз я в деталях расскажу о его реализации на Java, самые же нетерпеливые могут заглянуть в исходный код теста Грейнджера и посмотреть пример работы для куриц и яиц
Данные о курицах-несушках и производстве яиц в США можно взять тут.